Curba lui Koch

Fie o linie dreaptă cu lungimea 1 u.m. . Se împarte această linie în trei părți egale. Aceste segmente au lungimea 1/3 u.m. . Segmentul din mijloc este înlocuit cu alte două segmente. Se repetă același pas.

Se ia fiecare latură (acum sunt 4), se împarte în trei segmente egale, iar segmentul din mijloc este înlocuit cu acele segmente. Tot parcurgând acești pași, ne iese o figură care arată astfel. Interesant este faptul că începe să ia o formă oarecum familiară. Dacă se începe cu un triunghi și se aplică algoritmul, avem un fulg de nea, numit Fulgul de nea al lui Koch.

Dar fulgul acesta de nea este special. Acesta are un perimentru infinit și totuși o arie finită. De la linia inițială de lungimea 1 u.m., se ajunge la pasul 1 cu o lungime de 4/3 u.m. . La pasul 2, fiecare latură crește cu o treime, deci lungimea totală va fi de 16/3 u.m. . Se observă o formulă: ln=4n/3 (u.m.), unde n este un număr natural, mai mare ca 1 și care reprezintă numărul pasului. Iar cum fractalul se regăsește la pasul infinit (n tinde la infinit), și perimentrul triunghiului format din 3 astfel de fractali tinde la infinit. Și totuși Fulgul de nea are o arie finită. Poate foarte simplu să fie acoperit în totalitate de un pătrat finit și care este totuși mai mare decât Fulgul lui Koch.

Astfel, se remarcă o altă proprietate a fractalilor, prezența lor la limitele matematicii: mulți dintre ei sunt (sau pot fi folosiți pentru a crea) figuri geometrice cu perimentru infinit și arie finită.